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2016年江西省招警考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系：容斥問題

發(fā)布時(shí)間：2015-12-21 11:09:37 來源：一佳公務(wù)員考試網(wǎng) 點(diǎn)擊量： │ 我要分享
容斥問題是關(guān)于集合與集合之間運(yùn)算關(guān)系的一類問題，從出題形式上看，它又分為兩集合的容斥問題、三集合的容斥問題和多集合的容斥問題，其中前兩類問題是相似的，需要考生掌握兩集合與三集合的容斥原理，第三類問題有所不同，需要考生從反面來考慮問題。下面是考生必須掌握的容斥原理，我們用“文氏圖”來理解：
兩集合的關(guān)系很容易理解，關(guān)鍵是三集合的容斥原理，上面給出了兩個(gè)關(guān)系。其中第二個(gè)圖是標(biāo)準(zhǔn)的三集合容斥原理，別看式子很長(zhǎng)，記住它即很容易，即“加奇減偶”的關(guān)系：奇數(shù)個(gè)集合的交（包括單個(gè)集合）前面是用加法，偶數(shù)個(gè)集合的交前面是用減法。其實(shí)，更多集合的標(biāo)準(zhǔn)容斥原理都是“加奇減偶”的關(guān)系；第三個(gè)圖是沒有重疊關(guān)系的容斥原理，所以式子更簡(jiǎn)單，D區(qū)域表示同時(shí)滿足兩個(gè)關(guān)系的集合，而E區(qū)域表示同時(shí)滿足三個(gè)關(guān)系的集合，如A、B、C表示語文、數(shù)學(xué)、英語考試及格的人數(shù)，則D表示正好有兩門考試及格的人數(shù)，E區(qū)域表示三門考試都及格的人數(shù)，顯然，在A＋B＋C的過程中，D多加了一次，E多加了兩次，那么多加了就應(yīng)該減去，多加了幾次就應(yīng)該減去幾次，前面的關(guān)系都可以這樣來理解。
【例1】（2006年國(guó)考）
現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)，如果物理實(shí)驗(yàn)做正確的有40人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做正確的有31人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的有4人，則兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有（   ）。
A．27人                    B．25人 
C．19人                    D．10人
【一佳名師解析】此題答案為B。顯然，總?cè)藬?shù)＝至少有一種實(shí)驗(yàn)做對(duì)的人數(shù)＋兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的人數(shù)，設(shè)兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的人數(shù)為X人，則由兩集合容斥原理，至少有一種實(shí)驗(yàn)做對(duì)的人數(shù)為40＋31－X人，于是有40＋31－X＋4＝50，解得X＝25人，因此答案為B。
【變1】（2008年海南）
某班共有50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和外語兩科考試，已知數(shù)學(xué)成績(jī)及格的有40人，外語成績(jī)及格的有25人，據(jù)此可知數(shù)學(xué)成績(jī)及格而外語成績(jī)不及格者（   ）。
A．至少有10人              B．至少有15人      
C．有20人                     D．至多有30人
【一佳名師解析】此題答案為B。這道題的考法比較靈活，考慮數(shù)學(xué)和外語及格人數(shù)的關(guān)系，結(jié)合文氏圖，此題很容易解決，如下圖所示：
 
上圖中列出了三個(gè)移動(dòng)的狀態(tài)1、2、3，顯然，在狀態(tài)3的時(shí)候數(shù)學(xué)及格而外語不及格的人數(shù)達(dá)到最少，為40－25＝15人，因此答案為B。
    核心提示：建議考生通過文氏圖來理解容斥原理，這樣的話，即使在考試時(shí)忘記了容斥原理，考生也可以通過文氏圖把題目做出來。
【例2】（2009年國(guó)考）
如下圖所示，X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三張不同形狀的紙片。它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290。且X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分面積分別為24、70、36。問陰影部分的面積是多少？
 
A．15      B．16             C．14  D．18
【一佳名師解析】此題答案為B。本題的關(guān)系非常清楚，故考慮直接利用公式法。由于X∪Y∪Z＝X＋Y＋Z－X∩Y－X∩Z－Y∩Z＋X∩Y∩Z，于是X∩Y∩Z＝290－64－180－160＋24＋70＋36，尾數(shù)是6，因此答案為B。
【變2】（2012年4•21聯(lián)考）
某公司招聘員工，按規(guī)定每人至多可投考兩個(gè)職位，結(jié)果共42人報(bào)名，甲、乙、丙三個(gè)職位報(bào)名人數(shù)分別是22人、16人、25人，其中同時(shí)報(bào)甲、乙職位的人數(shù)為8人，同時(shí)報(bào)甲、丙職位的人數(shù)為6人，那么同時(shí)報(bào)乙、丙職位的人數(shù)為（   ）。
A．7人                     B．8人 
C．5人                     D．6人
【一佳名師解析】此題答案為A。這是一道帶附加條件的容斥問題，其附加條件是“每人至多可投考兩個(gè)職位”，于是沒有人報(bào)三個(gè)職位，即“甲∩乙∩丙＝0”，設(shè)同時(shí)報(bào)乙、丙職位的人數(shù)為X人，那么直接利用三集合容斥原理，有：42＝22＋16＋25－8－6－X，尾數(shù)是7，因此答案為A。
    核心提示：熟悉公式是快速解決這一類問題的關(guān)鍵，但前提是考生需要充分理解文氏圖中每一個(gè)區(qū)域的具體含義，在最后計(jì)算時(shí)結(jié)合使用尾數(shù)法。
【例3】（2011年國(guó)考）
某市對(duì)52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時(shí)兩項(xiàng)不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格。則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種？
A．37                     B．36 
C．35                     D．34
【一佳名師解析】此題答案為D。本題的關(guān)系如下圖所示：
 
問題是求合格產(chǎn)品的數(shù)量，那么首先要求出至少有一種產(chǎn)品不合格的數(shù)量A∪B∪C，由三集合容斥原理，有A∪B∪C＝A＋B＋C－D－2E＝8＋10＋9－7－2＝18，所以合格產(chǎn)品的數(shù)量為52－18＝34種，因此答案為D。
【變3】（2010年國(guó)考）
某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？
A．120                      B．144 
C．177                      D．192
【一佳名師解析】此題答案為A。和上題類似，接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)＝至少參加一種考試的人數(shù)＋不參加其中任何一種考試的人數(shù)，那么由三集合容斥原理，可以求得至少參加一種考試的人數(shù)為63＋89＋47－46－2×24，尾數(shù)是5，再加上不參加的15人，尾數(shù)是0，因此答案為A。
【例4】（2010下半年聯(lián)考）
某社團(tuán)共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40人愛好收藏，這個(gè)社團(tuán)至少有多少人以上四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡？ 
A．5                        B．6 
C．7                        D．8
【一佳名師解析】此題答案為A。這是一個(gè)四集合的容斥關(guān)系，很明顯，直接從正面考慮會(huì)遇到困難，因?yàn)轭}目提供的條件不夠，考慮從反面著手。易知不愛好戲劇、體育、寫作和收藏的人分別為11人、16人、8人和6人，顯然，至少有一項(xiàng)活動(dòng)不都喜歡的人數(shù)最多有11＋16＋8＋6＝41人（現(xiàn)實(shí)情況下可能有重復(fù)，達(dá)不到41個(gè)人），此時(shí)只有5個(gè)人四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡，因此答案為A。
【變4】（2008年國(guó)考）
共有100個(gè)人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－5題分別有80人，92人，86人，78人，和74人答對(duì)，答對(duì)了3道和3道以上的人員能通過考試，請(qǐng)問至少有多少人能通過考試？
A．30                       B．55 
C．70                       D．74
【一佳名師解析】此題答案為C。和上題類似，我們需要從反面考慮，即考慮不通過考試的人數(shù)最多有多少人。因?yàn)榇疱e(cuò)3道或3道以上的人不能通過考試，而答錯(cuò)的題目總共有20＋8＋14＋22＋26＝90題，所以不通過考試的人數(shù)最多有90/3=30人（即考慮剛好不通過的情況，就是每個(gè)人正好答錯(cuò)3道題），那么通過考試的人數(shù)最少是70人，因此答案為C。
    核心提示：多集合容斥問題一般會(huì)結(jié)合極端法來做，而解決這類問題的關(guān)鍵是從問題的反面著手，這里也體現(xiàn)了“互補(bǔ)”的思想。
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