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公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系——體積問題

體積問題一般是多面體、柱體、錐體和球體的體積求解問題，行測考試中大部分都集中在正多面體和柱體的體積求解。除了掌握它們的體積求解公式，考生還需要掌握一些一般性規(guī)律，這在下面的題目中體現(xiàn)。
【例1】（2012年國考）
連接正方體每個面的中心構(gòu)成一個正八面體（如下圖所示）。己知正方體的邊長為6厘米，問正八面體的體積為多少立方厘米？ 
 
A．182                      B．242 
C．36                        D．72
【一佳名師解析】此題答案為C。由于正八面體是由兩個錐體構(gòu)成的，于是我們可以先求出一個錐體的體積，如上半部分的錐體體積。顯然，上半部分的錐體底面是一個正方形，其對角線是外面正方體的邊長，即6厘米，那么底面積為6×＝18平方厘米，而高只有外面正方體邊長的一半，即3厘米，那么由錐體的體積計算公式，可以得到上半部分的體積為18×＝18立方厘米，于是正八面體的體積是18×2＝36立方厘米，因此答案為C。
【變1】（2009年北京）
在一只底面半徑是20cm的圓柱形小桶里，有一半徑為10cm的圓柱形鋼材浸沒在水中，當(dāng)鋼材從桶中取出后，桶里的水下降了3cm。求這段鋼材的長度（   ）。
A．3cm                      B．6cm 
C．12cm                    D．18cm
【一佳名師解析】此題答案為C。由于鋼材是“浸沒”在水中，而前后水的體積是不變的，由題意知鋼材的體積為π×202×3＝1200π，那么鋼材的長度為＝12cm，因此答案為C。
    核心提示：所有的多面體都可以分解成錐體和柱體的組合，因此錐體和柱體的體積公式考生一定要非常熟悉。
 
【例2】（2011年浙江）
已知一個長方體的長、寬、高分別為10分米、8分米和6分米，先從它上面切下一個最大的正方體，然后再從剩下的部分上切下一個最大的正方體。問切除這兩個正方體后，最后剩下部分的體積是多少？
A．212立方分米             B．200立方分米     
C．194立方分米             D．186立方分米
【一佳名師解析】此題答案為B。由于在長方體上切最大的正方體依據(jù)的是長方體最短的那條邊，因此第一個切去的正方體的邊長為6分米，切下這個正方體后，剩下的長方體的三個邊長分別變?yōu)?分米、8分米、6分米，那么切下的第二個正方體的邊長為4分米，由于最后剩下的部分的體積等于原來長方體的體積減去切去的兩個正方體的體積，即10×8×6－63－43＝200立方分米，因此答案為B。
【變2】（2004年國考）
一個邊長為8的正立方體，由若干個邊長為1的正立方體組成，現(xiàn)在要將大立方體表面涂漆，請問一共有多少個小立方體被涂上了顏色？
A．296                      B．324 
C．328                      D．384
【一佳名師解析】此題答案為A。從表面上看，這道題與體積無關(guān)，但是仔細(xì)考慮一下，其實(shí)和上題有幾分相似，上題中的關(guān)系是“整體體積＝切除體積＋剩下體積”，而此題中隱含了一個這樣的關(guān)系：“所有小立方體個數(shù)＝被涂上顏色的小立方體個數(shù)＋沒被涂上顏色的小立方體個數(shù)”，顯然，所有小立方體的個數(shù)為83＝512個，而沒被涂上顏色的小立方體個數(shù)為63＝216個，所以被涂上顏色的小立方體個數(shù)為512－216＝296個，因此答案為A。
    核心提示：整體思維和互補(bǔ)思維在數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常用到，即在關(guān)系A(chǔ)＋B＝C中，如果問題是求A，但A由于各種原因很難直接求解，而B和C都比較容易求解，此時我們通過求B和C來間接得到A，通常C需要從整體上考慮。
【例3】（2008年國考）
相同表面積的四面體，六面體，正十二面體以及正二十面體，其中體積最大的是（   ）。
A．四面體                      B．六面體  
C．正十二面體               D．正二十面體
【一佳名師解析】此題答案為D。正多面體的極限是圓球，顯然，球形物體對空間的利用率要比方形物體的要高（你可以想一下為什么水瓶或水壺很少有方形的，可不僅僅是為了美觀），故在表面積相同的情況下越接近圓球的正多面體其體積就越大，因此答案為D。
【變3】相同體積的四面體，六面體，正十二面體以及正二十面體，其中表面積最大的是（   ）。
A．四面體                      B．六面體  
C．正十二面體               D．正二十面體
【一佳名師解析】此題答案為A。由于“在表面積相同的情況下越接近于球的多面體的體積越大”，那么反過來，“在體積相同的情況下越不接近于球的表面積越大”，這其實(shí)就是一個規(guī)律用兩句不同的話說出來而已，所以這種逆向的思維考生也一定要好好掌握，因此答案為A。
    核心提示：在幾何問題中，有一個規(guī)律考生一定要清楚：1、在所有平面圖形中，當(dāng)周長相同的情況下圓的面積最大；2、在所有立體圖形中，當(dāng)表面積相同的情況下球的體積最大。
責(zé)編:一佳教育